Henri Lombardi, Claude Quitté's Algèbre Commutative: Méthodes constructives - Modules PDF

By Henri Lombardi, Claude Quitté

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N dans A telle que ai = a + 1 − ei et les π(ei ) forment un système fondamental d’idempotents orthogonaux de A/a (π est la projection canonique A → A/a). 6 (lemme des noyaux) Soit P = P1 · · · P ∈ A[X] et une application A-linéaire ϕ : M → M vérifiant P (ϕ) = 0. On suppose que les Pi sont deux à deux comaximaux. Notons Ki = Ker(Pi (ϕ)), Qi = j=i Pj . Alors on a : Ki = Im(Qi (ϕ)), M = K1 ⊕ · · · ⊕ K et Ki . Im(Pi (ϕ)) = Ker(Qi (ϕ)) = j=i On considère l’anneau B = A[X]/ P . Le module M peut être vu comme un B-module pour la loi (Q, y) → Q · y = Q(ϕ)(y).

6. C’est beaucoup plus confortable pour obtenir des énoncés uniformes. En outre c’est pratiquement indispensable lorsque l’on ne sait pas tester l’égalité à zéro des idempotents dans l’anneau avec lequel on travaille. 26 2. Principe local-global de base et systèmes linéaires Tout d’abord si e est idempotent, on a Ann e = 1 − e . Pour l’implication réciproque, soit e ∈ a tel que 1 − e ∈ Ann a. Alors e(1 − e) = 0 donc e est idempotent. Et pour tout y ∈ a, y = ye, donc a ⊆ e . , a = a2 ) dans A, alors a = e avec e2 = e entièrement déterminé par a.

En tant que A-module, A est somme directe de e = eA et f = f A. L’idéal eA est un anneau si l’on prend e comme élément neutre pour la multiplication. On a alors trois anneaux isomorphes A[1/e] = (1 + f A)−1 A A/ f eA. Ces isomorphismes sont obtenus à partir des trois applications canoniques A → A[1/e] : x → x/1, A → A/ f : x → x mod f , A → eA : x → e x, qui sont surjectives et ont même noyau. 3. On a trois A-modules isomorphes M [1/e] M/f M eM. Ces isomorphismes sont obtenus à partir des trois applications canoniques M → M [1/e] : x → x/1, M → M/f M : x → x mod f M , M → e M : x → e x, qui sont surjectives et ont même noyau.

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by Edward
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