A Necessary and Sufficient Condition for the Existence of a by Bliss G.A. PDF

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Die L6sung des Gleichungssystems t) = W! = f), ~i = f), =1= 0 § 21. Cramersche Regel; inverse, transponierte, orthogonale Matrizen. 49 gestaltet sich jetzt formal so, als ob t), ~( und 1; Zahlenbedeuten, es wird durch ~ dividiert! Nur durfen wir beim Rechnen mit Matrizen nicht von einer Division sprechen noch ein Symbol ~ schreiben, weil ~-I5B und 5B~-1 unterschieden werden mussen. Man sagt deshalb: zur Losung der Gleichung t) = ~ 1; wird links mit ~-1 multipliziert. Fur A = 0 existiert keine inverse Matrix, aber das Gleichungssystem kann bei passender Wahl der Yl' Y2' ...

Yn und aik gegebene GraBen sind. Der hier behandeltcFall m = n und A 0 wird Cramerscher Ha u ptfall genannt. In der Lasung des Systems erscheinen die Unbekannten als Quotient zweier Determinanten; die Nenner sind iiberall A, und die Zahler + AlkYl + A 2k Y2 + ... •• , Yn ersetzt wird: an! •.. • ann Die angegebene Umformung zeigt: Wenn das Gleichungssystem iiberhaupt eine Losung besitzt, so kann es nur diese sein. DaB die errechneten Werte fUr Xl' X 2 , ••• , X,. auch wirklich die Gleichungen erfiillen, ist nicht selbstverstandlich, sondern muB erst durch Einsetzen gezeigt werden.

H. ~ ~ und ~~ brauchen nicht gleich zu sein. Das geht schon daraus hervor, daB ~ mit ~ verkettet 46 Matrizen. sein kann, aber deshalb ~ mit su: nicht verkettet zu sein braucht. Fur quadratische Matrizen kann man leicht Beispiele bilden, bei denen su: ~ von ~su: verschieden ist. 1st su: ~ = ~~l, so nennt man solche Matrizen vertauschbar. Z. B. ist ~p. su: = SU: 3 = 2(· SU: 2 • Die quadratische Matrix I 00... 0) o I 0 ... 0 ~ ~ ~::: ~ 0 0 0 ... 1 heiBt Einheitsmatrix, und es ist Q;SU: = ~( und = n Verkettung vorausgesetzt ~l Q; = ~r.

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4.2

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